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\(L^p \) 空间卷积运算存在单位元吗?

证明 \(\ell^2\) 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集.

证明算子 $$ T f(x)=\frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{f(y)}{x+y} \mathrm{~d} y $$ 在 $L^2(0, \infty)$ 上是有界的，且求其范数 $\|T\| $.

证明 $$ \zeta(z) =\prod_p \frac{1}{1-p^{-z}}$$

设 \(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非负局部可积函数, 假如存在某个 \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) 使得 \(M f\left(x_0\right)=0\), 则 \(f\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中几乎处处等于零.

如何具体构造一个三维复射影空间中亏格为 \( g\) 的紧黎曼面？（表示成两个多项式的零点集或者参数化）

设 $(X, d)$ 是度量空间，$\left\{x_n\right\}$ 是 $(X, d)$ 中的 Cauchy 点列，证明：$\left\{x_n\right\}$ 收敛当且仅当 $\left\{x_n\right\}$ 存在收敛子列

设 $C_0$ 表示极限为 0 的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及 $$ \|x\|=\sup _i\left|\xi_i\right|, \quad x=\left(\xi_i, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots\right) $$ 构成 Banach 空间，证明：$\left(C_0\right)^{\prime}=l^1$ ．

设 $X$ 是赋范线性空间，$x_1, x_2, \cdots, x_k$ 是 $X$ 中 $k$ 个线性无关向量，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$是一组数，证明：在 $X$ 上存在满足下列两条件：（1）$f\left(x_v\right)=\alpha_v, v=1,2, \cdots, k$ ，（2）$\|f\| \leq M$ 的线性泛函 $f$ 的充要条件为：对任何数 $t_1, t_2, \cdots, t_k$ ， $$ \left|\sum_{v=1}^k t_\nu \alpha_v\right| \leq M\left\|\sum_{v=1}^k t_\nu x_v\right\| $$ 都成立．

设 $F$ 是 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 中有界闭集，$A$ 是 $F$ 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任意 $x, y \in F(x \neq y)$ ，有 $$ d(A x, A y)< d(x, y), $$ 证明映射 $A$ 在 $F$ 中存在唯一的不动点．

设 $X, Y$ 是赋范空间，且 $X \neq 0$ ，证明 $Y$ 是 Banach 空间当且仅当 $L(X, Y)$ 是 Banach 空间.

$(\Omega, \mathscr{B}, \mu)$ 是测度空间，$X=L^2(\Omega, \mu), X^=X$ ，函数 $K: \Omega \times \Omega \rightarrow$ $\mathbb{K},(x, y) \mapsto K(x, y)$ 且 $$ \int_{\Omega \times \Omega}|K(x, y)|^2 \mathrm{~d} \mu_x \mathrm{~d} \mu_y:=M<+\infty $$ 对 $\forall u \in L^2$ ，定义 $$ T u(x):=\iint_{\Omega} K(x, y) u(y) \mathrm{d} \mu_y $$ 则（1）$T \in \mathscr{L}\left(L^2, L^2\right)$
（2）对 $\forall u \in\left(L^2\right)^=L^2,\left(T^* v\right)(y)=\int_{\Omega} K(x, y) v(x) \mathrm{d} \mu_x$

设 \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) 为任意函数，证明其连续点集 \[ C(f) = \{ x \in \mathbb{R} : f \text{ 在 } x \text{ 处连续} \} \] 是 \( G_\delta \) 集.

设 \( f \) 是 \( \mathbb{C} \) 上的解析函数, 且对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 满足不等式 \[ |f(z)| \leq e^{\,\mathrm{Re}\,z}. \] 证明：\( f \) 要么恒为零, 要么在 \( \mathbb{C} \) 上无零点.

设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵, \(S(A)\) 表示 \(A\) 中所有元素之和. 证明对正偶数 \(k\) 有 \[ S(A^k) \ge \frac{(S(A))^k}{n^{k-1}}. \]

考虑 Poisson 核 \[ P_y(x)=\frac{1}{\pi} \frac{y}{x^2+y^2} . \] 若 \(f \in C(\mathbb{R})\), 求证：当 \(y \rightarrow 0^{+}\)时 \(f * P_y\) ⇉ \(f\), 其中 \[ f * g(x)=\int_{\mathbb{R}} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \]

证明 \[ f * P_y(x)=2 \int_0^{+\infty} \widehat{f}(\xi) \mathrm{e}^{-2 \pi y \xi} \cos 2 \pi x \xi \mathrm{~d} \xi \] 其中 \[ \widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}} f(x) \mathrm{e}^{-2 \pi \mathrm{i} x \xi} \mathrm{~d} x \] 为 \(f\) 的 Fourier 变换, Poisson 核 \[ P_y(x)=\frac{1}{\pi} \frac{y}{x^2+y^2} . \]

设 \(\mathcal{S}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的 Schwarz 空间，\(L=-\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{~d} x^2}+x^2\) 为 \(\mathcal{S}\) 上的 Hermite 算子。证明 \(L \geqslant I\), 即 \(\langle L(f), f\rangle \geqslant\langle f, f\rangle, \forall f \in \mathcal{S}\), 其中 \(\langle f, g\rangle=\int_{\mathbb{R}} f(x) g(x) \mathrm{d} x\).

证明对于 \( 1 < p < \infty \), 存在常数 \( C_p \) 满足：对于任意 \( \mathbb{R}^d \) 上的局部可积函数 \( f \), 如果 \( f \in L^p(\mathbb{R}^d) \), 则有 \[ \|f^\|_p \le C_p \|f\|_p, \] 其中 \( f^ \) 是 Hardy-Littlewood 极大函数，定义为： \[ f^*(x) = \sup_{B \ni x} \frac{1}{m(B)} \int_B |f(y)| \, dy \]

对于 \( n \geq 3 \), 证明存在常数 \( C > 0 \), 使得对所有 \( u \in H^1(\mathbb{R}^n) \)，有 \[ \int_{\mathbb{R}^n} \frac{u^2}{|x|^2} \, dx \leq C \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^2 \, dx. \] 并确定最优常数 \( C = \frac{4}{(n-2)^2} \).

设函数 \( u(x) \), \( x \in \mathbb{R}^n \)（\( n \geq 2 \)）满足方程 \[ \Delta u = u^p \] 并且有界 \[ |u(x)| \leq C. \] 证明 \( u \equiv 0 \).

a．设 \(u: \Omega \subset \mathbb{R}^n \rightarrow S^{N-1}\) 是到球面的映射, 设 \(u \in W^{1, p}\left(\Omega, \mathbb{S}^{N-1}\right), p>1\)．证明能量 \[ I(u)=\frac{1}{p} \int_{\Omega}|\nabla u|^p \] 极小点 \(u\) 满足 \[ -\Delta u=|\nabla u|^p u \] \(u\) 称为弱 \(p\)－调和映射．
b．如果 \(u \in W^{2, p}\left(\Omega, \mathbb{S}^{N-1}\right)\), \(\left.\frac{d}{d t} I\left(u^t\right)\right|_{t=0}=0\), 这里 \(u^t(x)=u(x+t \zeta(x)), \zeta \in C_0^{\infty}\left(\Omega ; \mathbb{R}^N\right)\)．证明 \(u\) 满足单调不等式 \[ \frac{1}{r^{n-p}} \int_{B_r(x)}|\nabla u|^p \leqslant \frac{1}{R^{n-p}} \int_{B_R(x)}|\nabla u|^p, \quad r< R. \]
c．如果 \(u\) 是弱 \(p-\)调和映射, \(1< p< n\), 且区域变分为 0, 证明 \[ u \in C^\alpha\left(\Omega \backslash \Sigma ; \mathbb{S}^{N-1}\right), \quad \mathcal{H}^{n-p}(\Sigma)=0. \]

\( T \) 和 \( T_2 \) 是 Hilbert 空间 \( H \) 上的线性算子. \[ (Tx, y) = (x, T_2 y), \quad \forall x, y \in H. \] 证明 \( T \) 和 \( T_2 \) 是有界的.

如果一个线性算子的平方是一个紧算子，那么这个算子本身是否也是一个紧算子？

考虑随机微分方程 \[ dx(t) = f(t, x(t)) \, dt + g(t, x(t)) \, dW(t), \quad t \in J = [t_0, T], \] 其中 \(f\) 和 \(g\) 满足线性增长条件 \[ |f(t, x)|^2 \vee |g(t, x)|^2 \leq K (1 + |x|^2), \] 且 \(x_0 \in L^2 \cap L^p\) \(p > 0\). 证明： \[ \mathbb{E} |x(t) - x(s)|^p \leq C_p |t - s|^{\frac{p}{2}}, \quad \forall t, s \in J, \] 其中 \(C_p\) 是与 \(t, s\) 无关的正常数.

设 $\psi, f_1, f_2 \in C_c^\infty(\mathbb{R})$，且满足 $\psi(\xi) = 0$ 对所有 $|\xi| \geqslant 1$. 定义函数 $u_i:\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$（$i=1,2$) 为： $$ \begin{aligned} u_1(x_1,x_2) &:= \int_{\mathbb{R}} \psi(\xi) f_1(\xi) \,e^{i\xi x_1} e^{i\xi^2 x_2}\,\mathrm{d}\xi, \\ u_2(x_1,x_2) &= \int_{\mathbb{R}} \psi(\eta-10) f_2(\eta)\, e^{i\eta x_1} e^{i\eta^2 x_2}\,\mathrm{d}\eta. \end{aligned} $$ 证明：存在常数 $C$，其可能依赖于 $\psi$，但不依赖于 $f_1,f_2$，使得 $$ \|u_1 u_2\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \leqslant C \|f_1\|_{L^2(\mathbb{R})}\|f_2\|_{L^2(\mathbb{R})}. $$

设 \(X\) 为 Banach 空间, \(T \in B(X)\). 若 \(T^2\) 是紧算子, \(T\) 是单射, \(\operatorname{Ran}(T)\) 是闭子空间, 求证 \(T\) 是紧算子.

证明任何正测度的勒贝格可测集必然包含一个不可测子集

证明Banach 空间中， i)紧算子满足：非零谱是离散特征值且以 0 为唯一聚点.
ii) 存在非紧的有界线性算子，其谱（除 0 外）由趋于 0 的离散特征值组

\[\]
到底啦！