问题:
设 $F$ 是 $n$ 维欧式空间 $\mathbb{R}^n$ 中有界闭集，$A$ 是 $F$ 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任意 $x, y \in F(x \neq y)$ ，有
$$
d(A x, A y)< d(x, y),
$$
证明映射 $A$ 在 $F$ 中存在唯一的不动点．
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
)
（存在性）定义 $\mathbb{R}^n$ 上的函数
$$
f(x)=d(A x, x), \quad x \in \mathbb{R}^n .
$$
对任意 $x, y \in F$ ，由条件可知
$$
\begin{aligned}
|f(x)-f(y)| & =|d(A x, x)-d(A y, y)| \\
& \leq d(A x, A y)+d(x, y) \\
& \leq 2 d(x, y),
\end{aligned}
$$
所以 $f$ 是 $F$ 上的 Lipschitz 连续函数．由于 $F$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界闭集，则连续函数 $f$ 可以在 $F$ 上取到最小值，即存在 $x_0 \in F$ 使得
$$
d\left(A x_0, x_0\right)=f\left(x_0\right)=\min _{x \in F} f(x)=\min _{x \in F} d(A x, x)
$$
下证 $x_0$ 是 $A$ 的不动点．
反证法，假设 $A x_0 \neq x_0$ ．一方面，由于 $x_0 \in F, A: F \rightarrow F$ ，则 $A x_0 \in F$ ，从而
$$
f\left(A x_0\right) \geq \min _{x \in F} f(x)=f\left(x_0\right)
$$
另一方面，由条件，
$$
f\left(A x_0\right)=d\left(A\left(A x_0\right), A x_0\right)< d \left(A x_0, x_0\right)=f\left(x_0\right)
$$
矛盾．所以 $x_0$ 是 $A$ 的不动点．
\[\]
（唯一性）设 $x, y \in F$ 满足 $A x=x, A y=y$ ．假设 $x \neq y$ ，则由条件，
$$
d(x, y)=d(A x, A y)< d(x, y)
$$
矛盾．所以 $x=y$ ，映射 $A$ 在 $F$ 中的不动点只有一个．
