问题:
设 $X, Y$ 是赋范空间，且 $X \neq 0$ ，证明 $Y$ 是 Banach 空间当且仅当 $L(X, Y)$ 是 Banach 空间.
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
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设 $\left\{T_n\right\}$ 为 $L(X, Y)$ 的 Cauchy 列，因此对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使得 $m, n>N$ 时，
$$
\left\|T_m-T_n\right\|<\varepsilon
$$
对任意 $x \in X$ ，有
$$
\left\|T_m x-T_n x\right\|=\left\|\left(T_m-T_n\right) x\right\| \leqslant\left\|T_m-T_n\right\| \cdot\|x\|<\varepsilon\|x\|
$$
因此 $\left\{T_n x\right\}$ 为 $Y$ 中的 Cauchy 列，由 $Y$ 的完备性质可知，存在 $y \in Y$ ，使得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} T_n x=y
$$
定义 $X$ 到 $Y$ 的算子，$T x=y=\lim _{n \rightarrow \infty} T_n x$ ，易知 $T$ 是线性的．
由于 $\left|\left\|T_m\right\|-\left\|T_n\right\|\right| \leqslant\left\|T_m-T_n\right\| \rightarrow 0$ ，因此 $\left\{\left\|T_n\right\|\right\}$ 为 $R$ 中的 Cauchy 列，从而存在 $M>0$ ，使得 $\left\|T_n\right\| \leqslant M$ ，对任意 $n \in N$ 都成立．故 $\|T x\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|T_n x\right\| \leqslant$ $M\|x\|$ ，从而 $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性连续算子。
由上面证明可知对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，使得 $m, n>N$ 时，有
$\left\|T_m x-T_n x\right\| \leqslant\left\|T_m-T_n\right\| \cdot\|x\|<\varepsilon\|x\|$ ，对任意 $x \in X$ 都成立．
令 $m \rightarrow \infty$ ，则
$$
\left\|T x-T_n x\right\|<\varepsilon\|x\|
$$
因此
$$
\left\|T_n-T\right\|=\sup _{x \neq 0, x \in X} \frac{\left\|T_n x-T x\right\|}{\|x\|}<\varepsilon
$$
对任意 $n>N$ 成立，从而 $T_n \rightarrow T$ ，所以，$L(X, Y)$ 是完备的．
\[\]
充分性：设 $\left\{y_n\right\}$ 是 $Y$ 中柯西列，取 $0 \neq x \in X$ ，由 Harn-Banach theorem 可知存在 $f \in$ $X^*$ with $\|f\|=1, f(x)=\|x\|$ ，定义算子序列：
$$
T_n: X \rightarrow Y, x \mapsto f(x) y_n
$$
则 $T_n$ 是线性算子，且 $\left\|T_n\right\|=\left\|y_n\right\|$ ，所以
$$
\left\|T_n(x)-T_m(x)\right\| \leqslant\|x\| \cdot\left\|y_n-y_m\right\|
$$
故 $\left\{T_n\right\}$ 是 $\mathcal{L}(X, Y)$ 上的柯西列，不妨 $T_n \rightarrow T$ ，取 $y=\frac{T(x)}{|x|}$ ，
$$
\left\|y_n-y\right\|=\left\|\frac{T_n(x)}{|f(x)|}-\frac{T(x)}{|x|}\right\|=\frac{1}{|x|}\left\|T_n(x)-T(x)\right\| \leqslant\left\|T_n- T \right\| \rightarrow 0
$$
从而 $y_n \rightarrow y$ ，这就证明了 $Y$ 是 Banach 空间。
