mo8.co 设 \( f \) 是 \( \mathbb{C} \) 上的解析函数，且对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 满足不等式 \[ |f(z)| \leq e^{\,\mathrm{Re}\,z}. \] 证明：\( f \) 要么恒为零，要么在 \( \mathbb{C} \) 上无零点。

问题: 设 \( f \) 是 \( \mathbb{C} \) 上的解析函数，且对所有 \( z \in \mathbb{C} \) 满足不等式 \[ |f(z)| \leq e^{\,\mathrm{Re}\,z}. \] 证明：\( f \) 要么恒为零，要么在 \( \mathbb{C} \) 上无零点。

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