问题: 设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称矩阵, \(S(A)\) 表示 \(A\) 中所有元素之和. 证明对正偶数 \(k\) 有 \[ S(A^k) \ge \frac{(S(A))^k}{n^{k-1}}. \]

---

---

解答: ( ID: 匿名游客 )

由于 \(A\) 实对称, 存在正交矩阵 \(Q\) 使得 \[ A = Q \Lambda Q^{\mathsf{T}}, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n), \] 其中 \(\lambda_i\) 是 \(A\) 的特征值. 于是 \[ A^k = Q \Lambda^k Q^{\mathsf{T}}. \] 记 \(\mathbf{1} = (1,1,\dots,1)^{\mathsf{T}} \in \mathbb{R}^n\), 则 \[ S(A) = \mathbf{1}^{\mathsf{T}} A \mathbf{1}, \quad S(A^k) = \mathbf{1}^{\mathsf{T}} A^k \mathbf{1}. \] 令 \(x = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{1}\)，则 \[ S(A) = x^{\mathsf{T}} \Lambda x = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2, \quad S(A^k) = x^{\mathsf{T}} \Lambda^k x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k x_i^2. \] 注意 \(\|x\|^2 = \|\mathbf{1}\|^2 = n\)，即 \(\sum_{i=1}^n x_i^2 = n\). 定义 \(w_i = \dfrac{x_i^2}{n}\)，则 \(w_i \ge 0\) 且 \(\sum_{i=1}^n w_i = 1\). 于是 \[ \frac{S(A)}{n} = \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i, \quad \frac{S(A^k)}{n} = \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i^k. \] 因为 \(k\) 是正偶数, \(f(t) = t^k\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是凸函数. 由 Jensen 不等式 \[ \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i^k \ge \left( \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i \right)^k, \] 即 \[ \frac{S(A^k)}{n} \ge \left( \frac{S(A)}{n} \right)^k. \] 得 \[ S(A^k) \ge \frac{(S(A))^k}{n^{k-1}}. \] 由于 \(A\) 实对称, 存在正交矩阵 \(Q\) 使得 \[ A = Q \Lambda Q^{\mathsf{T}}, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n), \] 其中 \(\lambda_i\) 是 \(A\) 的特征值. 于是 \[ A^k = Q \Lambda^k Q^{\mathsf{T}}. \] 记 \(\mathbf{1} = (1,1,\dots,1)^{\mathsf{T}} \in \mathbb{R}^n\), 则 \[ S(A) = \mathbf{1}^{\mathsf{T}} A \mathbf{1}, \quad S(A^k) = \mathbf{1}^{\mathsf{T}} A^k \mathbf{1}. \] 令 \(x = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{1}\)，则 \[ S(A) = x^{\mathsf{T}} \Lambda x = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2, \quad S(A^k) = x^{\mathsf{T}} \Lambda^k x = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k x_i^2. \] 注意 \(\|x\|^2 = \|\mathbf{1}\|^2 = n\)，即 \(\sum_{i=1}^n x_i^2 = n\). 定义 \(w_i = \dfrac{x_i^2}{n}\)，则 \(w_i \ge 0\) 且 \(\sum_{i=1}^n w_i = 1\). 于是 \[ \frac{S(A)}{n} = \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i, \quad \frac{S(A^k)}{n} = \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i^k. \] 因为 \(k\) 是正偶数, \(f(t) = t^k\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是凸函数. 由 Jensen 不等式 \[ \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i^k \ge \left( \sum_{i=1}^n w_i \lambda_i \right)^k, \] 即 \[ \frac{S(A^k)}{n} \ge \left( \frac{S(A)}{n} \right)^k. \] 得 \[ S(A^k) \ge \frac{(S(A))^k}{n^{k-1}}. \]