问题:
证明 \(\ell^2\) 的 Hamel 基是不可数集. 更一般地, 无穷维 Banach 空间的 Hamel 基也是不可数集. 还有如果 \(X\) 是一个具有不可数 Hamel 基的向量空间，是否存在一个范数使得 \(X\) 成为一个 Banach 空间呢？ 对于一个Banach空间，是不是存在一些不可能取到的(不可数) Hamel 维度?
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假设 \(\ell^2\) 的 Hamel 基 \(\mathcal{B}\) 为可数集，记 \[\mathcal{B}=\left\{x_n: n \in \mathbb{N}\right\}. \] 令 \[ F_n=\operatorname{Span}\left(x_1, \cdots, x_n\right).\] 则 \(F_n\) 为闭集，并且显然 \(\ell^2=\bigcup_{n=1}^{\infty} F_n\), 因此必定存在某个 \(\bar{F}_{n_0}\) 有内点, 不妨设 \(x \in B(x, r) \subset \bar{F}_{n_0}\), 但有 \[ x+\frac{r}{2} \frac{x_{n_0+1}} {\left\|x_{n_0+1}\right\|} \in B(x, r) \backslash F_{n_0} . \] 引出矛盾.
\[\]
如 $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$ 是一致的，那么可以得到一个例子，说明对于一个 Banach 空间，存在一些不可能取的不可数 Hamel 维度. 空间 $\ell^2$ 包含一个基数为 $2^{\aleph_0}$ 的线性无关集，具体来说是 $\left(n^{-\alpha}\right)_{n \in \mathbb{N}}$，其中 $\alpha$ 在 $[0,1]$ 范围内. 因此，$\ell^2$ 的Hamel维度至少为 $2^{\aleph_0}$，并且不能更大，因为 $\ell^2$ 的基数为 $2^{\aleph_0}$。现在，对于每个无限维的Banach空间 $E$，构造一个单射有界线性映射 $\ell^2 \rightarrow E$.因此，$\operatorname{dim}(E) \geq 2^{\aleph_0} > \aleph_1$，并且不存在 Hamel 维度为 $\aleph_1$ 的 Banach 空间.一般来说，在 Kruse, Arthur H., Badly incomplete normed linear spaces, Math. Z. 83, 314-320 (1964). ZBL0117.08201. 的引理2中，Kruse证明了对于一个Banach空间 $E$，有 $\operatorname{dim}(E)^{\aleph_0} = \operatorname{dim}(E)$. 根据König定理，如果 $\kappa$ 是不可数的，并且是可数个严格小于它的集合的并集，那么 $\kappa^{\aleph_0} > \kappa$. 因此，无条件地，没有Hamel维度为 $\aleph_\omega = \bigcup_{n=0}^{\infty} \aleph_n$ 的 Banach 空间，也没有 Hamel 维度为 $\beth_\omega = \bigcup \left\{2^{\aleph_0}, 2^{2^{\aleph_0}}, 2^{2^{2^{\aleph_0}}}, \ldots \right\}$ 的Banach空间.
