问题:
设 \(f\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的非负局部可积函数, 假如存在某个 \(x_0 \in \mathbb{R}^n\) 使得 \(M f\left(x_0\right)=0\), 证明 \(f\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 中几乎处处等于零.
解答: (
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匿名游客[匿名]
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若 \(|f|\) 在某个球 \(B\) 上恒大于零, 则对于任意 \(x \in \mathbb{R}^n\), 一定存在 \(r_0>0\)使得 \(B \subset B\left(x, r_0\right)\),
\[\begin{aligned}
M f(x) & =\sup _{r>0} \frac{1}{|B(x, r)|} \int_{B(x, r)}|f(y)| d y \\
& \geqslant \frac{1}{\left|B\left(x, r_0\right)\right|} \int_{B\left(x_0, R\right)}|f(y)| d y \\
& \geqslant \frac{1}{\left|B\left(x, r_0\right)\right|} \int_B|f(y)| d y>0 .
\end{aligned}
\]
这与题设矛盾.
