问题:
设 $C_0$ 表示极限为 0 的实数列全体，按通常的加法和数乘，以及
$$
\|x\|=\sup _i\left|\xi_i\right|, \quad x=\left(\xi_i, \xi_2, \cdots, \xi_n, \cdots\right)
$$
构成 Banach 空间，证明：$\left(C_0\right)^{\prime}=l^1$ ．
解答: (
ID:
管理员[Alina Lagrange] math@lamu.run
)
Step 1．令 $e_k=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots), k \in \mathbb{N}_{+}$，则 $e_k \in C_0$ 并且 $\left\|e_k\right\|=1$ ．对任意 $x=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots\right) \in C_0$ ，由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} \xi_n=0$ ，则对 $\forall \epsilon>0$ ，存在 $N=N(\epsilon)$ ，使得对 $\forall n>N$ ，都有 $\left|\xi_n\right|<\epsilon$ ，从而
$$
\left\|x-\sum_{i=1}^n \xi_i e_i\right\|=\left\|\left(0, \cdots, 0, \xi_{n+1}, \xi_{n+2}, \cdots\right)\right\|=\sup _{i \geq n+1}\left|\xi_i\right| \leq \epsilon .
$$
于是 $x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$ ．
\[\]
Step 2．对任意 $f \in\left(C_0\right)^{\prime}$ ，令 $\eta_k=f\left(e_k\right), k \in \mathbb{N}_{+}$．下证
$$
y=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots\right) \in l^1 .
$$
事实上，对任意 $n \in \mathbb{N}_{+}$，有
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\left|\eta_i\right| & =\sum_{i=1}^n\left(\operatorname{sig} \eta_i\right) \eta_i \\
& =\sum_{i=1}^n\left(\operatorname{sign} \eta_i\right) f\left(e_i\right) \\
& =f\left(\sum_{i=1}^n\left(\operatorname{sign} \eta_i\right) e_i\right) \\
& \leq\|f\| \cdot\left\|\sum_{i=1}^n\left(\operatorname{sign} \eta_i\right) e_i\right\| \\
& \leq\|f\|
\end{aligned}
$$
因此 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|\eta_i\right|$ 收敛，从而 $y=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots\right) \in l^1$ ．
这样就定义了算子
$$
\begin{aligned}
T:\left(C_0\right)^{\prime} & \longrightarrow l^1 \\
f & \longmapsto y=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots\right)=\left(f\left(e_1\right), f\left(e_2\right), \cdots\right)
\end{aligned}
$$
易证 $T$ 是线性算子，并且对 $\forall f \in\left(C_0\right)^{\prime}$ ，有 $\|T f\|=\|y\| \leq\|f\|$ ．
\[\]
Step 3．下证 $T$ 是满射．
任取 $y=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots\right) \in l^1$ ，对 $\forall x=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots\right) \in C_0$ ，由于
$$
\left|\sum_{i=1}^{\infty} \eta_i \xi_i\right| \leq \sum_{i=1}^{\infty}\left|\eta_i\right| \cdot \sup _i\left|\xi_i\right|<\infty
$$
从而可以定义 $C_0$ 上的泛函 $f(x)=\sum_{i=1}^{\infty} \eta_i \xi_i$ ．易证 $f$ 是有界线性泛函，即 $f \in\left(C_0\right)^{\prime}$ ，并且
$$
f\left(e_k\right)=\eta_k, \quad \forall k \in \mathbb{N}_{+}
$$
由算子 $T$ 的定义，就有
$$
T f=\left(f\left(e_1\right), f\left(e_2\right), \cdots\right)=\left(\eta_1, \eta_2, \cdots\right)=y
$$
所以 $T$ 是满射．
\[\]
Step 4．下证 $T$ 是保距算子。
对任意 $f \in\left(C_0\right)^{\prime}$ ，由 Step 2 可知
$$
\|T f\| \leq\|f\|, \quad \forall f \in\left(C_0\right)^{\prime}
$$
反之，对任意 $x=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots\right) \in C_0$ ，根据 Step 1 以及 $f$ 的连续线性，就有
$$
|f(x)|=\left|f\left(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \xi_i e_i\right)\right| \leq \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n|\xi| \cdot\left|f\left(e_i\right)\right| \leq \sup _i\left|f\left(e_i\right)\right| \cdot \sum_{i=1}^{\infty}\left|\xi_i\right|=\|T f\| \cdot\|x\|,
$$
从而 $\|f\| \leq\|T f\|$ ．
综上，$\left(C_0\right)^{\prime}$ 与 $l^1$ 等距同构．
